Pembuktian sin, cos, dan tg sudut – sudut istimewa

Kata trigonometri berasal dari dua kata dalam bahasa Yunani, yaitu trigonon (tiga sudut) dan metro (mengukur). Trigonometri adalah bagian dari ilmu matematika yang mempelajari tentang hubungan antara sisi dan sudut suatu segitiga serta fungsi dasar yang muncul dari relasi tersebut. Di sekolah-sekolah yang ada di Indonesia, trigonometri mulai dipelajari saat  kelas 10. Kenapa disekolah diajarkan trigonometri? Karena trigonometri banyak diterapkan dalam kehidupan sehari-hari, hanya saja kita tidak menyadari atau tidak mengetahuinya. Untuk membangun rumah dan membuat mobil dibutuhkan pemahaman tentang trigonometri, memang tidak semua proses pembuatannya melibatkan trigonometri, namun ada perhitungan tertentu yang membutuhkan konsep trigonometri. Selain itu, trigonometri juga diperlukan dalam bidang astronomi, teknik, farmasi, kartografi (pembuatan peta), dan masih banyak lagi.

Ketika pertama kali belajar trigonometri, kita akan disuguhkan dengan konsep dasar seperti berikut ini :

Kita juga akan diberikan nilai fungsi trigonometri untuk sudut sudut istimewa. Sudut istimewa adalah sudut

 dan  Sudut – sudut tersebut disebut sudut istimewa karena nilai perbandingan fungsi trigonometrinya dapat ditentukan dengan mudah atau tidak perlu menggunakan kalkulator.

Gimana sih cara mendapatkan nilai-nilai tersebut?

Gini nih caranya.

Kita mulai dari sudut .

Ada sebuah persegi dengan panjang sisi 1 satuan. Kemudian persegi tersebut dibagi 2 melalui diagonalnya, maka didapatlah dua buah segitiga siku-siku sama kaki. Panjang sisi horizontal (x) = 1, panjang sisi vertikal (y) = 1, dan dengan rumus Pythagoras didapat panjang sisi miring (r) = . Maka .  .  .  

Untuk sudut  pembuktiannya sebagai berikut :

Ada sebuah segitiga sama sisi dengan panjang sisi 1 satuan dan pasti semua sudutnya sama besar yaitu . Kemudian segitiga tersebut kita bagi dua sehingga menjadi dua buah segitiga siku siku. Panjang sisi horizontal (x) = , panjang sisi miring (r) = 1, dan dengan rumus Pythagoras didapat panjang sisi vertikal (y) = . Maka .  .  . 

 

Untuk sudut  pembuktiannya menggunakan segitiga yang sama dengan pembuktian  Dari segitiga tersebut, kita bisa langsung mendapatkan sin, cos , dan tg , namun jika bingung yang mana x, y, dan r nya maka segitiganya dapat kita putar terlebih dahulu. Sehingga didapatkan panjang sisi horizontal (x) = , panjang sisi vertikal (y) = , dan panjang sisi miring (r) = 1. Maka didapat  .  .  . 

Untuk sudut   dan , pembuktiannya sebagai berikut. Kita memiliki bidang koordinat kartesius. Dari titik pusat kita buat garis (kita sebut garis r) sehingga garis r dan sumbu x membentuk sudut  . Kemudian titik ujung garis r yaitu titik (x,y) kita proyeksikan ke sumbu x menjadi titik (x,0) lalu kita buat garis dari kedua titik tersebut, Maka terbentuklah segitiga siku-siku. Dari segitiga tersebut didapat .  .   

Untuk , maka garis r berhimpit dengan sumbu x. Sehingga didapat x = x, y = 0, dan r = x. Maka .  .  . 

Untuk , maka garis r berhimpit dengan sumbu y. Sehingga didapat  x = 0, y = y, dan r = y. Maka .  .  . 

Demikianlah pembuktian sin, cos, dan tg sudut-sudut istimewa. Semoga menambah wawasan kita.

Sumber inspirasi :

Anonim. Sudut-Sudut Istimewa. Diakses 4 April 2017, dari Aria Turns: http://ariaturns.com/2016/02/05/ sudut-sudut-istimewa/ 
Anonim. Trigonometri. Diakses 4 April 2017, dari Wikipedia:http://id.m.wikipedia.org/wiki/ Trigonometri

Anonim. Why Cos 90 is 0??. Diakses 4 April 2017, dari Physics Forums: http://www.physicsforums.com/ threads/why-cos-90-is-0.61656/

Sarah Izyan. Trigonometry Uses Importance Daily Life. Diakses 4 April 2017, dari Techsling: www.techsling.com/2016/05/trigonometry-uses-importance-daily-life/

Jika ingin mendownload tulisan ini, silakan klik link berikut :Pembuktian sin,cos,tg sudut istimewa